2020年硕士研究生招生考试初试考试大纲
科目代码：601
科目名称：高等代数
适用专业：数学类各专业
考试时间：3小时
考试方式：笔试
总 分：150 分
考试范围：
一、多项式
1.多项式的带余除法及整除性;
2.多项式的因式分解、最大公因式、互素和重因式;
3. 不可约多项式的判定和性质;
4.多项式函数与多项式的根;
二、行列式
1.行列式的定义及性质;
2. 行列式按一行(列)展开;
3.运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。
三、 线性方程组
1.线性方程组的求解和讨论;
2.线性方程组有解的判别定理;
3.线性方程组解的结构及其解空间的讨论。
四、 矩阵
1.矩阵的基本运算、矩阵的分块;
2.矩阵的初等变换、初等矩阵;
3. 矩阵的等价、合同、正交相似;
4.逆矩阵、伴随矩阵及其性质;
5.矩阵的秩，矩阵乘积的行列式与秩;
6. 运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵;
7. 矩阵的特征值与特征向量，对角化矩阵。
五、 二次型
1.二次型及其矩阵表示;
2.C、R、Q上二次型标准形与规范形;
3.正定二次型及其讨论。
六、 线性空间
1.线性空间、子空间的定义与性质;
2. 向量组的线性相关性、极大线性无关组;
3. 线性空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换;
4. 生成子空间，子空间的和与直和、维数公式;
七、 线性变换
1.线性变换的定义、性质与运算;
2. 线性变换的矩阵表示;
3.线性变换的核、值域的概念;
4. 线性变换及其矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间;
八、 欧式空间
1.内积与欧氏空间的定义及性质，向量的长度、夹角、距离，正交矩阵;
2. 正交子空间与正交补;
3.欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的Schmidt正交化方法;
4.实对称矩阵的正交相似对角化的求法。
样 题 ：
一、(10分)证明：如果 ，那么 .
二、(15分)计算 阶行列式： .
三、(15分)已知线性方程组 ，讨论 取何值时，方程组有解?无解?有无穷多解?在有无穷多解时，求其通解.
四、(15分)设实矩阵 ， 为 维行向量，且 ，
证明： 是可逆矩阵，并求 .
五、(15分，第1小题5分，第2小题10分)
设 是一个 维欧氏空间， 是 中一个固定向量.
(1)证明： 是 的一个子空间;
(2)证明： 的维数为 .
六、(15分，第1小题5分，第2小题10分)
设二次型 通过正交变换 化为标准形 .
(1)写出这个二次型的秩，正、负惯性指数及符号差;
(2)求参数 的值和正交矩阵 .
七、(10分)设 是 级实对称矩阵，且满足 ， 的秩为 ，试求
行列式 ，其中 是 级单位矩阵.
八、(15分，每小题各5分)设 是全体次数不超过 的实系数多项式组成的实数域上的线性空间.定义 上的线性变换 ：
， .
(1)写出 在基 下的矩阵;
(2)求 的核 及值域 ;
(3)证明： .
九、(15分，第1小题10分，第2小题5分)
设 为 实矩阵， 是 维列向量.证明：
(1) ;
(2)线性方程组 总有解.
十、(15分)已知矩阵 ，且 ，其中 是 的伴随矩阵，求矩阵 .
十一、(10分，每小题各5分)设 是 维欧氏空间 中的非零向量，定义变换如下：
， .
(1)证明： 是线性变换;
(2)证明： 是对称变换.
参考书目
北京大学数学系前代数小组. 高等代数. 高等教育出版社，2013年8月. 第4版.
