数学
单考“数学”试题分为客观题型和主观题型，其中客观题型(填空题)占40%，主观题型(计算题、简单的的推导与证明题)占60%，具体复习大纲如下：
一、函数、极限、连续
1. 理解数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。
类型
2. 理解并掌握无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。
当 时
3. 求极限的方法：熟练理解并掌握极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限
① 利用连续性
② 两个重要极限 ③ 无穷小等价代换
当 时 ④ “ ”型 利用重要极限式指数化
⑤ 有理函数 极限( )
4.理解函数的连续性(含左连续与右连续)、会求函数间断点的类型。
类型 理解续函数的性质和初等函数的连续性，能判断分段函数的连续性。
1.定义：如果 那么就称函数 在点 连续。 2.主要条件： (由此可求两个参数)
4. 熟练理解并掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理)。
二、一元函数微分学
1. 理解导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、掌握平面曲线的切线和法线方程的计算方法。
导数定义： = ，
和 可导必连续，连续未必可导
2. 掌握基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。
初等函数求导公式(16个求导公式，5个求导法则)
导 数 公 式微 分 公 式
(1) (2) ， (3)。 (4) 复合函数导数 ， 称为中间变量， (5) ;参数方程求二阶导数 ，
3. 熟练掌握复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
例如：隐函数求二阶导数：F(x,y)=0 y=y(x),方程两边对x求导，y的函数看成x的复合函数
4. 理解高阶导数的概念并会计算分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。
5. 熟练理解并掌握微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理。
6. 熟练理解并掌握利用洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。
例如：洛必达法则：“ ， ”型 7. 理解函数的极值并会利用导数判别函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)。
1.方法：利用最值，单调性证不等式
单调性：单调升： ，当 时
单调降： ，当 时
， 单调升， ， 单调降
利用单调性证不等式，证 ， ， 2.求导时最多到二阶
8. 理解函数最大值和最小值并掌握其简单应用。
三、一元函数积分学
1. 理解原函数和不定积分的概念.
1.原函数：在区间上，若 ，称为的一个原函数。
2.不定积分：在区间 上， 的原函数的全体称为 的不定积分，记为 2. 理解不定积分的基本性质、基本积分公式.
① 是常数) ② ③ , ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ (11) (12) (13)
3. 理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理、理解变上限定积分确定的函数并会求其导数、掌握牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
例如： ， 4. 掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.
凑分法： 掌握下列常用凑分法
(1) (2) (3) 分布积分法： 掌握(1) (2) (3) (4) 简化计算的技巧
例如：(1)1)若 在 上连续且为偶函数，则 2)若 在 上连续且为奇函数，则
2) 3)换元法(结合凑微分法)
5. 掌握有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
6. 熟练掌握利用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积.
四.常微分方程
1. 理解常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等。
2. 熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程的计算方法。
例如：形式 通解： 3. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.
4. 掌握二阶常系数齐次线性的计算方法。
例如：二阶常系数线性齐次方程通解。标准型 ，其中常数。
解法：特征方程： ，特征根 通解
5. 熟练理解并掌握简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数，以及它们的和与积的计算方法。
例如：二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型 ，其中 常数 ， 解法：通解 ，其中 为对应齐次方程通解， 为本身的特解。
，其中 ，
6. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
五、多元函数微分学
1. 了解二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质。
2. 理解并掌握多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件。
3. 熟练理解并掌握多元复合函数求二阶偏导数，会求隐函数的导数。
例如：多元复合函数求偏导数
设函数 和 在 点分别具有对 和 的偏导数，而对应的函数 在相应的 点具有对 和 的连续偏导数，则复合函数 在 点具有对 的偏导数，且
同链相乘，分链相加
若 和 二阶可偏导， 具有二阶连续偏导数，则
4. 理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。
例如：(1) 方向导数：函数 f (x , y , z)在 ( )点沿方向e 的方向导数
= (2)梯度：函数 f (x , y , z)在 ( )点的梯度 5. 会求空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线。
例如：1)空间曲线切线与法平面方程
设空间曲线 在 参数 ，
切向量 ，切线方程： 法平面方程： 2)空间曲面的切平面与法线方程
设空间曲面： 在切点 ，法向量 切平面方程： ，
法线方程：
6. 熟练理解并掌握多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
例如：条件极值问题可表述为：求函数 在条件 下的极值。
方法：构造拉格朗日函数 ，令 ， ， ， ，解出 ，代入 ，其中最大(小)者为最大(小)值。
六、多元函数积分学
1. 理解二重积分和三重积分的概念及性质、熟练掌握二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、会计算三重积分 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
例如：1)积分区域D为X-型区域 ， = ，
积分区域D为Y-型区域 ， = ，
2)对于二重积分,如果区域 关于 轴对称,函数 是关于 的奇函数(既 ), 则 ;
若是偶函数(既 ),则 其中 是 在 轴的上半部分
对于二重积分, 如果区域 关于 轴对称,函数 是关于 的奇函数(既 ), 则 ;
若是偶函数(既 ),则 其中 是 在 轴的右半部分
2. 理解两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法。
3. 熟练掌握格林(Green)公式和平面曲线积分与路径无关的条件、会求二元函数全微分的原函数。
例如：1)第二型曲线积分(平面曲线)
积分形式： + = 曲线积分与路径无关的充要条件之一是： 在 内恒成立;
2)格林(Green)公式
其中L是D的正方向边界曲线。
4. 了解两类曲面积分的概念、性质，掌握两类曲面积分的计算方法，熟练掌握用高斯公式计算曲面积分的方法。
例如：高斯(Gauss)公式
七、无穷级数
1. 了解常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念。
例如：两种级数
(1) 级数 当 时收敛，当 时发散
(2)等比级数 当 收敛,且其和为 ;当 时,等比级数发散
2. 掌握级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件，掌握几何级数与p级数及其收敛性，掌握正项级数收敛性的比较判别法，掌握交错级数并会用莱布尼茨(Leibniz)判别法。
例如：1)正项级数的比值判别法：
正项级数 , 2)比值审敛法，(达朗贝尔(D’Alembert)判别法)设 为正项级数，如果 则当 时级数收敛; (或 )时级数发散; 时级数可能收敛也可能发散.
3.交错级数 的莱布尼茨定理判别法：若(1) (2) 则级数收敛
4(比较审敛法的极限形式) 设 和 都是正项级数，(其中 ), 如果 则
(1) 当 时，两个级数同时敛散;
(2) 当l=0时,若 收敛,则 也收敛,若 发散，则 也发散.
(3) 当 时,若 发散,则 也发散;若 收敛,则 也收敛.
3. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛。
4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。
5. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域。
例如：幂级数 (1)收敛半径，收敛域：如果 其中 是幂级数 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径 开区间 叫做幂级数的收敛区间。再由幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛域是 或 这四个区间之一。
(1) ， (2) ，
6. 理解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，熟练掌握简单幂级数的和函数的求法。
7. 理解初等函数的幂级数展开式，熟练掌握应用它们将简单函数间接展开成幂级数。
数学
单考“数学”试题分为客观题型和主观题型，其中客观题型(填空题)占40%，主观题型(计算题、简单的的推导与证明题)占60%，具体复习大纲如下：
一、函数、极限、连续
1. 理解数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。
类型
2. 理解并掌握无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。
当 时
3. 求极限的方法：熟练理解并掌握极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限
① 利用连续性
② 两个重要极限 ③ 无穷小等价代换
当 时 ④ “ ”型 利用重要极限式指数化
⑤ 有理函数 极限( )
4.理解函数的连续性(含左连续与右连续)、会求函数间断点的类型。
类型 理解续函数的性质和初等函数的连续性，能判断分段函数的连续性。
1.定义：如果 那么就称函数 在点 连续。 2.主要条件： (由此可求两个参数)
4. 熟练理解并掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理)。
二、一元函数微分学
1. 理解导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、掌握平面曲线的切线和法线方程的计算方法。
导数定义： = ，
和 可导必连续，连续未必可导
2. 掌握基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。
初等函数求导公式(16个求导公式，5个求导法则)
导 数 公 式微 分 公 式
(1) (2) ， (3)。 (4) 复合函数导数 ， 称为中间变量， (5) ;参数方程求二阶导数 ，
3. 熟练掌握复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
例如：隐函数求二阶导数：F(x,y)=0 y=y(x),方程两边对x求导，y的函数看成x的复合函数
4. 理解高阶导数的概念并会计算分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。
5. 熟练理解并掌握微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理。
6. 熟练理解并掌握利用洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。
例如：洛必达法则：“ ， ”型 7. 理解函数的极值并会利用导数判别函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)。
1.方法：利用最值，单调性证不等式
单调性：单调升： ，当 时
单调降： ，当 时
， 单调升， ， 单调降
利用单调性证不等式，证 ， ， 2.求导时最多到二阶
8. 理解函数最大值和最小值并掌握其简单应用。
三、一元函数积分学
1. 理解原函数和不定积分的概念.
1.原函数：在区间上，若 ，称为的一个原函数。
2.不定积分：在区间 上， 的原函数的全体称为 的不定积分，记为 2. 理解不定积分的基本性质、基本积分公式.
① 是常数) ② ③ , ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ (11) (12) (13)
3. 理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理、理解变上限定积分确定的函数并会求其导数、掌握牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.
例如： ， 4. 掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.
凑分法： 掌握下列常用凑分法
(1) (2) (3) 分布积分法： 掌握(1) (2) (3) (4) 简化计算的技巧
例如：(1)1)若 在 上连续且为偶函数，则 2)若 在 上连续且为奇函数，则
2) 3)换元法(结合凑微分法)
5. 掌握有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
6. 熟练掌握利用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积.
四.常微分方程
1. 理解常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等。
2. 熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程的计算方法。
例如：形式 通解： 3. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.
4. 掌握二阶常系数齐次线性的计算方法。
例如：二阶常系数线性齐次方程通解。标准型 ，其中常数。
解法：特征方程： ，特征根 通解
5. 熟练理解并掌握简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数，以及它们的和与积的计算方法。
例如：二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型 ，其中 常数 ， 解法：通解 ，其中 为对应齐次方程通解， 为本身的特解。
，其中 ，
6. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
五、多元函数微分学
1. 了解二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质。
2. 理解并掌握多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件。
3. 熟练理解并掌握多元复合函数求二阶偏导数，会求隐函数的导数。
例如：多元复合函数求偏导数
设函数 和 在 点分别具有对 和 的偏导数，而对应的函数 在相应的 点具有对 和 的连续偏导数，则复合函数 在 点具有对 的偏导数，且
同链相乘，分链相加
若 和 二阶可偏导， 具有二阶连续偏导数，则
4. 理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。
例如：(1) 方向导数：函数 f (x , y , z)在 ( )点沿方向e 的方向导数
= (2)梯度：函数 f (x , y , z)在 ( )点的梯度 5. 会求空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线。
例如：1)空间曲线切线与法平面方程
设空间曲线 在 参数 ，
切向量 ，切线方程： 法平面方程： 2)空间曲面的切平面与法线方程
设空间曲面： 在切点 ，法向量 切平面方程： ，
法线方程：
6. 熟练理解并掌握多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
例如：条件极值问题可表述为：求函数 在条件 下的极值。
方法：构造拉格朗日函数 ，令 ， ， ， ，解出 ，代入 ，其中最大(小)者为最大(小)值。
六、多元函数积分学
1. 理解二重积分和三重积分的概念及性质、熟练掌握二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、会计算三重积分 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
例如：1)积分区域D为X-型区域 ， = ，
积分区域D为Y-型区域 ， = ，
2)对于二重积分,如果区域 关于 轴对称,函数 是关于 的奇函数(既 ), 则 ;
若是偶函数(既 ),则 其中 是 在 轴的上半部分
对于二重积分, 如果区域 关于 轴对称,函数 是关于 的奇函数(既 ), 则 ;
若是偶函数(既 ),则 其中 是 在 轴的右半部分
2. 理解两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法。
3. 熟练掌握格林(Green)公式和平面曲线积分与路径无关的条件、会求二元函数全微分的原函数。
例如：1)第二型曲线积分(平面曲线)
积分形式： + = 曲线积分与路径无关的充要条件之一是： 在 内恒成立;
2)格林(Green)公式
其中L是D的正方向边界曲线。
4. 了解两类曲面积分的概念、性质，掌握两类曲面积分的计算方法，熟练掌握用高斯公式计算曲面积分的方法。
例如：高斯(Gauss)公式
七、无穷级数
1. 了解常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念。
例如：两种级数
(1) 级数 当 时收敛，当 时发散
(2)等比级数 当 收敛,且其和为 ;当 时,等比级数发散
2. 掌握级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件，掌握几何级数与p级数及其收敛性，掌握正项级数收敛性的比较判别法，掌握交错级数并会用莱布尼茨(Leibniz)判别法。
例如：1)正项级数的比值判别法：
正项级数 , 2)比值审敛法，(达朗贝尔(D’Alembert)判别法)设 为正项级数，如果 则当 时级数收敛; (或 )时级数发散; 时级数可能收敛也可能发散.
3.交错级数 的莱布尼茨定理判别法：若(1) (2) 则级数收敛
4(比较审敛法的极限形式) 设 和 都是正项级数，(其中 ), 如果 则
(1) 当 时，两个级数同时敛散;
(2) 当l=0时,若 收敛,则 也收敛,若 发散，则 也发散.
(3) 当 时,若 发散,则 也发散;若 收敛,则 也收敛.
3. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛。
4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。
5. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域。
例如：幂级数 (1)收敛半径，收敛域：如果 其中 是幂级数 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径 开区间 叫做幂级数的收敛区间。再由幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛域是 或 这四个区间之一。
(1) ， (2) ，
6. 理解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，熟练掌握简单幂级数的和函数的求法。
7. 理解初等函数的幂级数展开式，熟练掌握应用它们将简单函数间接展开成幂级数。
