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推断统计的数学基础
（一）概述
概率是表明随机事件出现可能性大小的客观指标。
1.分类
（1）后验概率
对随机事件进行n次观察，某一事件A出现的次数m与观测次数n的比值。当n趋近无穷时，这个比值将稳定在一个常数P上，这一常数称作概率，P（A）= m/n
（2）先验概率
在满足试验可能结果数有限且每一种结果出现的可能性相等的条件下，随机事件包含的可能结果数（m）除以可能结果总数（n）。P（A）= m/n。
当进行多次观测时，按观测结果计算的概率（后验概率）基本接近先验概率。
2.性质
（1）公理系统
①任一随机事件A的概率均为非负；
②一定条件下必然事件的概率为1；
③一定条件下不可能事件的概率为0。
后两个公理的逆定理不成立。
（2）加法公理（互不相容事件或然发生）
P（A +B）=P（A）+ P（B）=P（A或B）
（3）乘法公理（独立事件同时发生）
P（AB）=P（A）X P（B）=P（A且B）
（二）概率分布
对随机变量取值的概率分布情况用函数进行描述，依据不同标准可分为不同类型：
1.按变量描述的数据特点划分，分为离散分布和连续分布。
2.按函数的来源划分，分为经验分布和理论分布。
3.按描述数据的特征分，分为基本随机变量分布（原始数据的分布）和抽样分布（样本统计量的分布）。
二、常见分布
（一）正态分布
又称常态分布，由棣•莫弗发现，拉普拉斯、高斯也对其研究作了贡献，有时又称高斯分布。它是连续随机变量概率分布的一种，是应用最广泛的一种理论分布，记作N（μ，σ2）。
1.特点
（1）呈对称分布（对称不一定是正态）。在正态分布中，均值、中数、众数相等。正态曲线的形状像一口钟，两头小，中间大，大部分的原始分数都集中分布在均值附近，极端值相对而言比较少。
（2）中央点最高，曲线先向内弯后向外弯，拐点在±1个标准差处。两端向靠近横轴处不断延伸，但始终不会与横轴相交。
（3）正态分布是一族分布，即其形态会随随机变量的均值和标准差的变化而变化。所有正态分布都可以经由Z分数转换成标准正态分布，标准正态分布的μ=0，σ2=1，记作N（0，1）正态分布，具有固定的形态。
另外，标准正态分布因具有固定的均值和标准误，所以可以排除不同样本数据单位不同造成的混乱，更易进行推断分析。
（4）正态曲线下面积为1，分布下包含了所有数据。
（5）正态分布曲线下，标准差和面积有一定数量关系。±1个标准差包含总面积的68.26%，±1.96个标准差包含总面积的95%，±2.58个标准差包含总面积的99%。
（6）正态分布下各差异量数之间有固定比率。
2.正态分布的应用
（1）正态分布表的应用
①已知概率（P）可查Z分数。
②已知Z分数可查概率（P）。
③已知概率（P）或Z分数可查密度值（y）。
（2）正态分布在研究中的应用
①化等级评定为测量数据。
②确定测验题目的难易度。
③按能力分组，确定人数。
④测验分数的正态化。
（二）二项分布
试验仅有两种不同性质结果的概率分布，可以说是两个对立事件的概率分布。
1.二项试验
又称贝努里试验，需满足：
（1）任何一次试验恰有两个结果。
（2）共有n次试验，n是预先给定的任一正整数。
（3）各次试验各自独立。
（4）某结果的概率在任一次试验中都是固定的。
2.特点
（1）二项分布是离散型分布
①p=q时图形对称。
②p≠q时呈偏态，若n很大，则二项分布接近于正态分布。
（2）若二项分布满足p<q，且np≥5，或p>q且nq≥5，二项分布接近正态分布，μ=np，σ=
，n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1-p。
3.应用：主要用于解决含有机遇性质的问题。例：10道判断题，答对多少道才能认为不是出于猜测？
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