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线性回归
一、概述
(一)回归与线性回归
1.回归分析
通过大量的观测发现变量之间存在的统计规律性,并用一定的数学模型表示变量相关关系的方法。
2.一元线性回归分析
当只有一个自变量,并且统计量大体是一次函数的线性关系的回归分析。
(二)相关分析和回归分析
区别:
1.相关分析
(1)用相关系数来度量变量间的密切程度;
(2)相关分析是双向的,不强调哪个是自变量,哪个是因变量。
2.回归分析
(1)用数学模型来表示变量之间数量关系的可能形式;
(2)回归分析是单向的,要找出一个变量随着另一个或多个变量的变化而变化的关系。
联系:
(1)从广义上而言,相关分析包括回归分析。
(2)两者的共同点是确定变量之间是否存在关系。
(3)在一元线性回归中,相关系数等于两回归系数的几何平均数:
(三)回归模型
用来表达变量之间规律的数学模型即为回归模型。
一元线性回归用
̂=a+bX作为回归方程,代表X与Y的线性关系,其中:
X:自变量,
:对应于X的Y变量的估计值;
a:表示该直线在Y轴的截距;
b:表示该直线的斜率,即X变化时Y的变化率,表示X变化一个单位时,
变化b个单位。又叫作Y对X的回归系数,用by.x或X→Y表示。
若以Y做自变量,回归方程变为:
̂=a+bY,这时
b:Y变化时X的变化率,表示Y变化一个单位,
变化b个单位。又叫X对Y的回归系数,用bx.y或Y→X表示。
(四)线性回归的基本假设
设回归方程为:
̂=a+bX
1.线性关系假设
x与Y在总体上具有线性关系,这是线性回归的最基本假设。
2.正态性假设
在回归分析中的Y服从正态分布。
3.独立性假设
(1)一个X对应的Y值与另一个X对应的Y值间独立。
(2)不同X产生的误差相互独立,误差与X间也相互独立。
4.误差等分散性假设
X对应的误差,除呈随机化的常态分布,其变异量也应相等,称为误差等分散性。
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